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向量共线的条件

2020-02-14 10:20:37文/叶丹

零向量与任何向量共线。非零向量共线条件是b=λa,其中a≠0,λ是唯一实数。共线向量也就是平行向量,方向相同或相反的非零向量叫平行向量,任意一组平行向量都可移到同一直线上,所以称为共线向量。

向量共线的条件

平面向量共线的条件

零向量与任何向量共线

以下考虑非零向量,三个方法

(1)方向相同或相反

(2)向量a=k向量b

(3)a=(x1,y1),b=(x2,y2)

a//b等价于x1y2-x2y1=0

共线向量基本定理

如果a≠0,那么向量b与a共线的充要条件是:存在唯一实数λ,使得b=λa。

证明:

1)充分性:对于向量 a(a≠0)、b,如果有一个实数λ,使 b=λa,那么由实数与向量的积的定义知,向量a与b共线。

2)必要性:已知向量a与b共线,a≠0,且向量b的长度是向量a的长度的m倍,即 ∣b∣=m∣a∣。那么当向量a与b同方向时,令 λ=m,有 b=λa,当向量a与b反方向时,令 λ=-m,有 b=λa。如果b=0,那么λ=0。

3)唯一性:如果 b=λa=μa,那么(λ-μ)a=0。但因a≠0,所以λ=μ。

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